7.1. La distribución normal

La distribución normal, campana de Gauss o, curva normal, como también se conoce a esta distribución fue definida por De Moivre en un intento de encontrar las probabilidades acumuladas en un distribución binomial cuando "n" (el número de ensayos) es grande.

Características y propiedades

Si a una variable X que se distribuye normalmente, con media σ2, le aplicamos una transformación lineal Y = bX+a, la nueva variable Y se distribuirá normalmente pero con media bμx + a y desviación típica |b|σx. Si restamos la media y dividimos por la desviación típica obtenemos una nueva variable “z”.

Las propiedades fundamentales de una distribución normal son:

  • Una distribución normal es simétrica a su media, μ, que coincide con su mediana y su moda.

  • La curva normal tiene dos puntos de inflexión, es decir, dos puntos donde la curva pasa de ser cóncava a convexa. Estos puntos están situados a una distancia de una desviación típica de la media.

  • Es asintótica en el eje de abscisas, se extiende desde -∞ hasta +∞ sin tocar nunca el eje. 

Utilización de las tablas

En el supuesto que la tabla no recoja el valor, podemos utilizar el más próximo.

Cálculo de la probabilidad para valores menores o iguales que una determinada puntuación típica: En este caso se mira directamente en la tabla.

Cálculo de la probabilidad para valores mayores que una determinada puntuación: En este supuesto se mira en la tabla la probabilidad que esa puntuación deja por debajo y se resta a 1.

Cálculo de la probabilidad entre dos puntuaciones determinadas: Aquí se restan las probabilidades que dejan por debajo de sí las dos puntuaciones típicas.

Histograma y distribución normal

Si disponemos de los datos originales de una variable X, y su distribución es normal,utilizaremos las tablas III y IV, pero anteriormente transformaremos las puntuaciones directas en puntuaciones típicas.

Aproximación de la binomial a la normal

Cuando las distribuciones binomiales superan sus valores de 20, se puede aproximar a la binomial normal. Teniendo una variable X, con distribución binomial, su media es μ = np y su desviación típica σ = npq.

Para aproximar la distribución binomial a la normal establecemos un intervalo entre 0,5 a la izquierda y a la derecha:

P [(12-0,5) ≤ x ≤ (12+0,5)]

Sumar y restar el valor 0,5 se llama corrección por continuidad, permitiendo utilizar las puntuaciones discretas como continuas. 

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